Définition d’un espace vectoriel sur \( \mathbb{R} \)
Un espace vectoriel sur \( \mathbb{R} \) est un ensemble \( E \) muni :
1. d’une addition : \( (x, y) \mapsto x + y \)
2. d’une multiplication par un réel : \( (\lambda, x) \mapsto \lambda x \)
satisfaisant 8 axiomes.
Vrai ou Faux : \( \mathbb{R}^n \) est un espace vectoriel sur \( \mathbb{R} \)
Vrai. \( \mathbb{R}^n \) est un espace vectoriel sur \( \mathbb{R} \).
Qu’est-ce qu’une famille libre ?
Une famille \( (v_1, \ldots, v_n) \) est libre si :
\[
\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0 \Longrightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.
\]
Définition d’une primitive sur un intervalle
On dit que \( F \) est une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et \( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x \in I \).
Ensemble des primitives d’une fonction continue \( f \) sur \( I \)
Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \), alors l’ensemble des primitives de \( f \) est \( \{ F + k \mid k \in \mathbb{R} \} \).
Primitive de \( \frac{1}{x} \) sur \( \mathbb{R}^* \)
Une primitive de \( \frac{1}{x} \) sur \( \mathbb{R}^* \) est la fonction \( x \mapsto \ln|x| \).
Théorème d’existence des primitives
Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet au moins une primitive sur \( I \).
Primitive de la fonction \( f(x) = e^x \)
La fonction \( x \mapsto e^x \) est une primitive de \( f(x) = e^x \) sur \( \mathbb{R} \).
Définition de l’intégrale d’une fonction continue
Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( [a, b] \), on définit :
\[
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)
\]
Propriété : intégrale d’une constante
Pour toute constante réelle \( c \) et tout intervalle \( [a, b] \) :
\[
\int_a^b c \, dx = c (b – a)
\]
Théorème : relation de Chasles
Pour toute fonction continue \( f \) sur un intervalle \( I \) et pour tous \( a, b, c \in I \) :
\[
\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\]
Théorème : intégrale d’une fonction impaire sur un segment symétrique
Si \( f \) est continue et impaire sur \( [-a, a] \), alors :
\[
\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0
\]
Formule de l’intégration par parties
Pour des fonctions \( f \) et \( g \) de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un intervalle \( I \) :
\[
\int_a^b f'(x)g(x) \, dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b – \int_a^b f(x)g'(x) \, dx
\]